基礎理論～待ち行列～
概要
今回は 待ち行列 について。
私も当初苦手で「公式覚えるの…？」とか思っていましたが、用途や背景を知ると理解が深まります。
待ち行列とは
その名の通り、「行列にて待つ」度合いの色々を表します。よく例として挙げられるのはレジやATMでしょうか。
例えば、「混み具合」「レジがさばき終わるまでの時間」「ATMで自分の順番が回ってくるまでの時間」など、様々な計算に用いられます。
今回はレジを例として使用していきます。
ケンドール記法
既に待ち行列を学ばれた方なら分かるかもしれませんが FEやAPでは M/M/1 モデル というものを採用します。
というよりも、M/M/1モデル以外は採用されないような気がします。
あらゆる参考書も、本ページも、M/M/1モデル前提で話します。
さて、この ○/○/○ のかたちをケンドール記法と言います。
- 1つ目の○：サービス発生頻度･･･どの頻度でレジにお客さんが並ぶか
- 2つ目の○：サービス時間･･･レジで会計開始から終了までの時間
- 3つ目の○：サービス窓口･･･レジの数
という意味があります。
ここで、「M」というのは簡単に言うとランダムという意味です。
つまり、M/M/1モデルは レジに並ぶお客さんもランダム、会計に係る時間もランダム、レジは1つの場合 を前提した計算です。
分布
ここでは、分布の名前が2種類出てきます。分布は、 発生頻度 のようなニュアンスでおぼえていてくれた良いです。
この分布とは、レジにお客さんがどの程度の頻度で来るかな、などの「ばらつき」を示します。このばらつきの種類が2種類あるんですね。
ポアソン分布
レジに人が並ぶ場合を考えてみると、一人のお客さんもいれば、団体客、また0人の場合もあります。
この0もありうる分布をポアソン分布といいます。
指数分布
これはレジにてお客さんをさばく時間ですね。商品が多く長く掛かる人もいれば、一品で簡単に終わる人もいます。でも、 0はない んですよね。
この0はない分布が指数分布です。
出てくるギリシャ文字(コラム)
別にギリシャ文字でなくても良いのでしょうが、昔から待ち行列では
| ギリシャ文字 | 読み方 | 意味 |
|---|---|---|
| ρ | ロー | 混み具合 |
| μ | ミュー | サービス率 |
| λ | ラムダ | 到着率 |
使い方、意味などは後述しますが、「こんなの使うのか…」と知っておくと良いでしょう。
サービス率
サービス率、とは言いますが、これは「サービスを行う時間」やその指数です。
1時間あたりのサービス数 を表し、「平均サービス率」といいます。
逆数は 1件あたりの時間 を表し「平均サービス時間」といいます。Tsという記号があります。
この平均サービス率を「μ」と書きます。
ですね。
到着率
レジに到着する頻度を指します。
1時間あたりの到着サービス数 (1時間あたりに何人お客さんが来店するのか) を表し、「平均到着率」といいます。
逆数は 1件あたりの時間 を表し「平均到着時間」といいます。Taという記号があります。
この平均到着率を「λ」と書きます。なんだかトボトボ入店してくる人に見えます。イメージ戦法。
ですね。
利用率
これは、来店する客と、レジにて会計中の人の比率です。
ならば、会計中の人より来店してる人が多いので「さばききれてない状態」を表します。
この混み具合を「平均利用率」といい「ρ」で表します。公式は以下。
待ち時間
この混み具合がわかると次に、「現在何人待っているか」という人数が把握できます。
です。
また、１件あたりのサービス時間は Ts でしたよね。μの逆数。
なので、合計で待つ時間を Tw とすると、
おわり
公式ばかりと思うかもしれませんが、根本的な用途は「待っている人数や時間、頻度などを求める学問」です。
以上です！
